Ошибка Эдгара По

Это одна из тех аномалий, которые, хотя и чаруют умы, далекие от математики, тем не менее полностью постижимы только для математиков. Например, обычного читателя почти невозможно убедить, что при игре в кости двукратное выпадение шестерки делает почти невероятным выпадение ее в третий раз и дает все основания поставить против этого любую сумму. Заурядный интеллект не может этого воспринять, он не может усмотреть, каким образом два броска, принадлежащие уже прошлому, могут повлиять на бросок, существующий еще пока только в будущем. Возможность выпадения шестерки кажется точно такой же, как и в любом случае — то есть зависящей только от того, как именно будет брошена кость. И это представляется настолько очевидным, что всякое возражение обычно встречается насмешливой улыбкой, а отнюдь не выслушивается с почтительным вниманием. Суть скрытой тут ошибки — грубейшей ошибки — я не могу объяснить в пределах места, предоставленного мне здесь, а людям, искушенным в философии, никакого объяснения и не потребуется. Тут достаточно будет сказать, что она принадлежит к бесконечному ряду ошибок, которые возникают на пути Разума из-за его склонности искать истины в частностях.

(Эдгар Аллан По)

Прочитал в одной статье про так называемую «ошибку игрока»:

Ошибка игрока — это тенденция придавать огромное значение уже совершившимся событиям, уверенность, что они могут как-то повлиять на наше будущее. Классический пример — подбрасывание монетки. Если пять раз подряд выпадает решка, вероятность, что следующим выпадет орёл в нашем сознании возрастает. На самом деле она по-прежнему остаётся 50/50.
Примерно так же работает ловушка «позитивного ожидания», свойственная игроманам. Им кажется, что после нескольких проигрышей удача просто ДОЛЖНА повернуться к ним лицом и уже следующая игра принесёт им огромный куш. Точно так же работает и заблуждение относительно «полосы везения».

Совершенно очевидно, что вышенаписанное ну никак не может быть правдой. Но математика — дисциплина суровая, значит, где-то должен быть подвох. Обратимся к горячо любимой русскоязычной педивикии:

Gambler’s fallacy или ложный вывод Монте-Карло отражает распространённое ошибочное понимание случайности событий. Связана с тем, что, как правило, человек не осознаёт на интуитивном уровне того факта, что вероятность желаемого исхода не зависит от предыдущих исходов случайного события.

Например, в случае с подбрасыванием монеты много раз подряд вполне может произойти такая ситуация, что выпадет 9 «решек» подряд. Если монета «нормальная», то для многих людей кажется очевидным, что при следующем броске вероятность выпадения орла будет больше: сложно поверить, что «решка» может выпасть десятый раз подряд. Тем не менее, такой вывод является ошибочным. Вероятность выпадения следующего орла или решки по-прежнему остаётся ½.

Нужно, однако, разграничивать понятия: вероятность выпадения «орла» или «решки» в каждом конкретном случае и вероятность выпадения «решки» десять раз подряд. Последняя будет равна (1/2)^10=1/1024. Впрочем, такой же будет вероятность выпадения и любой другой фиксированной последовательности из «орлов» и «решек» при 10 бросках монеты.

Вот! Кажется мы поймали птицу-удачу за хвост: вероятность того, что на 10-м броске снова выпадет решка 1/1024, но нас-то вполне устроят 1023 оставшихся варианта, если мы бросаем монетку с целью выкинуть орла. 1/1024 — это вероятность проигрыша. Если мы бросаем монетку несколько раз и выпадает всё время решка, с каждым новым броском вероятность проигрыша (т. е. конкретной комбинации, в данном случае из одних решек) уменьшается в 2 раза. Пора бежать играть в азартные игры!

…Но как только мы готовы сделать десятый (наверняка победный, в этом нет сомнения) бросок, как внезапно материализуется дух Эдгара Аллана По и ставит крупную сумму на решку. Сервера Матрицы начинают натужно гудеть (от необходимости рендерить дух) и яростно делить на ноль, пытаясь обсчитать событие, которое происходит одновременно с вероятностью 1/1024 и 1/2. Монетка зависает в воздухе…

Вот здесь-то и кроется подвох. С появлением духа По начинается новая игра. И любое отдельное подбрасывание монетки — это тоже новая игра. Вероятность проигрыша уменьшается только тогда, когда подразумевается серия бросков монетки, т. е. вероятность не выкинуть орла хотя бы один раз из 10 бросков — 1/1024.

Но куда в этом случае исчезает знание о том, что решка выпала n раз подряд? В Матрице оно должно быть таким же материальным, как дух Эдгара Аллана и даже сама монетка. Предложим духу По такие правила: он ставит на кон $10; в случае, если выпадет решка — получает $1000. Дух, разумеется, соглашается и выигрывает с вероятностью 1/2.

Но что было бы, если те же самые условия (вы побеждаете, если выпадает орел, на 10 броске к игре присоединяется дух) были предложены изначально? Правильно. В 1023 случаях из 1024 дух теряет $10, потому что ваш орел выпадет до 10 броска и игра заканчивается. Вот и нашлось потерянное знание и появилась связь между несвязанными событиями :)